4.6. Построение таблиц истинности

Формализация есть процедура перевода информации из одной знаковой системы в другую знаковую систему. В логике высказываний прием формализации означает замену суждений их логической символикой, т. е. соответствующими формулами, построенными из пропозициональных переменных (р, q, r, s, t...) и логических союзов (Λ, V, →, ↔ и др.). Процедура формализации во многом упрощает задачи логического анализа суждений или рассуждений.

На практике процедура логической формализации предполагает выполнение следующих требований:

1) Для построения логической формулы высказывания необходимо понять подлинный смысл суждения, выявить его составные части, определить структуру (характер связей между частями) и только после этого записать его в символической форме.

Например, в суждении «Гром не грянет — мужик не перекрестится» говорится не о недостаточной религиозности мужского населения России, а о его нерадивости, о стремлении откладывать все «на потом» и приступать к действиям лишь тогда и только тогда, когда уже не действовать невозможно.

Поэтому данное суждение должно рассматриваться как эквивалентное, а не как импликативное. Его логическая формула: р ↔ q.

2) Установление истинности логических формул, полученных в результате формализации, должно соответствовать определенным правилам и алгоритмам. В качестве алгоритма исчисления истинности логических формул выступают соответствующим образом построенные таблицы.

Число строк в таблице истинности логических формул, состоящих из двух или более простых суждений, определяют с помощью формулы А(n) = 2ⁿ, где А — число строк, n — количество простых суждений в формуле.

Если логическая формула содержит только одно простое суждение, то число строк в таблице истинности будет равно двум. Например, таблица истинности для логической формулы рV┐р должна иметь следующий вид:

Для логической формулы рV┐q, состоящей из двух простых суждений, таблица истинности будет содержать уже четыре строки:

Для формулы, содержащей три простых суждения, число строк в таблице истинности должно быть 8, так как А(3) = 2³, а в формуле, содержащей четыре простых суждения, число строк уже будет равно 16: А(4) = 16.

Заполнение значений «истинно» и «ложно» в таблицах истинности для логической формулы, содержащей n простых суждений, подчиняется следующему алгоритму.

Для первого из простых суждений (р) заполняют первый столбец сверху вниз n/2 значениями «истинно», а затем n/2 значениями «ложно». Для второго также заполняется сверху вниз следующим образом: n/4 — «истинно», n/4 — «ложно», n/4 — «истинно», n/4 — «ложно». Для третьего аналогично n/8 — «истинно», n/8 —"ложно" и т. д. В столбце для последнего простого суждения значения «истинно» и «ложно» чередуются сверху вниз попеременно, начиная со значения «истинно».

Таким образом, для логической формулы, включающей четыре разных исходных суждения (р, q, r, s), таблица должна содержать 16 строк. Значения столбца, соответствующего первому суждению р, заполняют сверху вниз следующим образом: сначала записывают восемь значений «истинно», а затем восемь значений «ложно». Для второго суждения q столбик заполняют сверху вниз четырьмя значениями «истинно», затем четырьмя «ложно», снова повторяют четыре значения «истинно» и затем еще четыре «ложно». Для третьего ( r ) столбец заполняется сверху вниз попеременно по два значения «истинно» и по два — «ложно». Для четвертого суждения s значения «истинно» и «ложно» заполняют попеременно, начиная сверху со значения «истинно».

Таким образом, таблица истинности для логической формулы, состоящей из четырех простых суждений, принимает следующий вид:

Следует стремиться к максимальному упрощению формальной записи суждения. Значительную помощь в таких процедурах могут оказать преобразования по формулам (законам) де Моргана:

а) ┐(р V q) = ┐p ^ ┐q (отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний);

б) ┐(p ^ q) = ┐pV┐q (отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний);

К примеру, формулу ┐( ┐р V ┐ q V ┐r V┐ s) c помощью первого закона де Моргана можно легко преобразовать в более простую p ^ q ^ r ^ s.

Логические формулы, в которых невозможно проведение никаких дополнительных упрощающих запись процедур, называют правильно построенными формулами. Логические формулы, принимающие всегда только значение «истинно», называются тождественно истинностными, тавтологичными или общезначимыми. Эти формулы признаются законами формальной логики.