Логика

И.И. Веревичев

12.2. Язык логики высказываний

Логика высказываний отличается тем, что в процессе анализа процесса рассуждения ее главным инструментом становятся истинностные характеристики логических связок, а не внутренняя структура суждений. Язык логики высказываний включает алфавит, систему правильно построенных выражений и интерпретацию. Алфавит состоит из следующих символов:
— символов высказываний (пропозициональных переменных): р, q, r, s... ;
— символов для логических союзов (^, V, ┐,→,↔...);
— технических знаков (скобки, знаки препинания и др.).

Допустимые в логике высказываний выражения называются правильно построенными формулами (ППФ), если они удовлетворяют следующим правилам:

1. Каждая пропозициальная переменная есть ППФ;

2. Если а и в — ППФ, то и формулы ┐а, ┐в, а ^ в, а V в, а → в, а ↔ в также являются ППФ.

3. Все иные выражения, не соответствующие правилам 1-2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться как табличным методом, так и системой исчисления, позволяющей получать по определенным правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. В данной процедуре большое внимание уделяется отношению логического следования, которое определяется следующим образом. Из формул А¹, А²,... Аⁿ как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого А¹, А², ...Аⁿ истинным является и В. Логическое следование обозначают знаком: ├. Тогда, если А¹, А²,... Аⁿ├ В, то формула, представляющая собой импликацию вида (А¹ ^ А² ^...^ Аⁿ) → В, должна быть тождественно-истинностной.

Основу логики высказываний как исчисления составляет так называемая система натурального вывода (СНВ).

Система натурального вывода представляет собой совокупность определенных логических прямых правил, позволяющих из искомых суждений выводить новые, и непрямых правил, из утверждений которых о логическом следовании выводятся новые утверждения о логическом следовании.

Правила прямого вывода:

1

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота. Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут выводиться только истинные следствия, а также, что если формула выводится из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Полнота системы означает, что ее средств вывода достаточно, чтобы из пустого множества посылок вывести любую тождественно-истинностную формулу.

В СНВ понятие логического следствия определяется без использования понятия истинности. Заключение в рассуждении логически следует из посылок тогда и только тогда, когда оно выводимо из заданных посылок по определенным выше правилам. Выводом в натуральной системе называют последовательность формул языка логики высказываний, каждая из которой является либо посылкой, либо формулой, полученной из предшествующих в последовательности формул по правилам прямого вывода. Последняя формула последовательности называется выводимой формулой или заключением вывода.

Кроме прямых правил, в СНВ используют и непрямые правила, определяющие стратегию вывода. К числу непрямых правил относят:

1

Здесь Г — множество гипотез (посылок, допущений); В — последняя формула последовательности формул, являющейся выводом. Факт наличия вывода формулы В из множества гипотез Г обозначается так: Г├ В. Последнее выражение называется выводимостью формулы В из множества гипотез Г.

Логика высказываний, по сути, является составной частью логики предикатов. Логика высказываний более эффективна в анализе структур формализованных языков, тогда как логика предикатов служит эффективным логическим средством для анализа рассуждений в естественном языке.