12.1. Язык логики предикатов

Логика предикатов — важнейший инструмент уточнения логического смысла высказываний. Язык логики предикатов является языком классической логики и применяется в системе, называемой исчислением предикатов, использование которой предусматривает изучение не только специфики логических операторов и связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции), но и анализ внутренней структуры суждений. Алфавит языка логики предикатов состоит из следующего набора знаков- символов:

— предметные переменные: х, y, z...;
— предметные постоянные: а, в, с...;
— предикатные переменные р, q, r...;
— предикатные постоянные Р, Q, R, ...;
— функторы (логические связки, кванторы, условные обозначения операций, скобки и т. п.).

В этом алфавите предметными (или индивидными) переменными называют термины, указывающие явным образом на конкретный единичный предмет, предполагая наличие такого же значения в фиксированном предметном универсуме, т. е. в некотором классе предметов. Примером таких переменных могут служить выражения «нечто», «кто-то», «что-то» и т. п.

Предметными постоянными (или индивидными константами) называют термины, указывающие явным образом на единичные предметы из универсума мышления в качестве своих значений («этот человек», «данное преступление» и т. п.). Высказывания языка логики предикатов помимо индивидных констант и переменных содержат так называемые предикаторы или предикаты, указывающие на определенные свойства индивидов или отношения между ними.

Предикатные выражения фиксируют свойства, приписываемые индивиду в элементарном (атомарном) высказывании (например, «солнце светит», «преступник вооружен» и т. п.). Предикаты могут быть одноместными и многоместными. Одноместные выражают конкретные свойства предметов, а двухместные, трехместные и другие многоместные предикаты — специфику отношений между предметами («Иван любит Марью» — здесь выражение «любит» является двухместным предикатом, а в высказывании «В треугольнике различают стороны и углы» слово «различают» выражает трехместный предикат).

Большую роль в языке логики предикатов играют кванторы, указывающие на принадлежность некоторого свойства целому классу предметов (квантор всеобщности — V) или некоторой его части (квантор существования -... ). Допустимые в логике предикатов выражения называют формулами. Формула V хР(х) на языке логики предикатов читается следующим образом: «Для всех х имеет место свойство Р». Формула... хР(х) будет читаться по-другому: «Для некоторых х имеет место свойство Р».

Формулы называются правильно построенными формулами (ППФ), если они удовлетворяют следующим правилам:

1. Каждая свободная предикатная переменная есть ППФ;
2. Каждая предикатная переменная с количеством предметных переменных или констант, соответствующих ее местности, есть ППФ;
3. Логические формулы переменных с кванторами есть ППФ;
4. Если а и в — ППФ, то и формулы ┐а, ┐в, а ^ в, а V в, а → в, а ↔ в также являются ППФ;
5. Все иные выражения, не соответствующие правилам 1-4, не являются ППФ.

Элементы языка логики предикатов используют в системе исчисления предикатов для анализа структуры человеческой речи, изучения особенностей отдельных фрагментов естественного языка.

Язык логики высказываний применяется в логической системе, называемой исчислением высказываний, использование которой основано на изучении характера логических связок независимо от анализа внутренней структуры суждений.